Épluchez les pommes de terre et coupez-les en morceaux de taille égale. Plongez-les dans une grande casserole d'eau froide salée. Portez à ébullition et laissez cuire environ 20 minutes, jusqu'à ce qu'elles soient tendres quand vous les piquez avec la pointe d'un couteau.
Pendant que les pommes de terre cuisent, faites chauffer l'huile d'olive dans une grande poêle à feu moyen-vif. Ajoutez les oignons et faites-les revenir pendant 5 minutes jusqu'à ce qu'ils deviennent translucides. Incorporez l'ail et les carottes, poursuivez la cuisson pendant 3 minutes.
Augmentez le feu et ajoutez la viande hachée. Faites-la dorer en l'émiettant avec une cuillère en bois. Laissez la viande caraméliser légèrement pour développer les saveurs.
Une fois la viande bien colorée, déglacez avec le vin rouge et laissez réduire de moitié. Ajoutez ensuite le concentré de tomate, le laurier, le thym et le bouillon. Salez, poivrez, puis laissez mijoter à feu doux pendant environ 30 minutes, jusqu'à ce que le liquide soit réduit et que la sauce ait épaissi.
Égouttez bien les pommes de terre cuites et remettez-les dans la casserole chaude pendant 1 minute pour évaporer l'excès d'humidité. Écrasez-les au presse-purée ou au moulin à légumes.
Incorporez le beurre en morceaux à la purée, puis le lait chaud progressivement, en fouettant énergiquement. Ajoutez les jaunes d'œufs, la muscade, salez et poivrez selon votre goût. Fouettez jusqu'à obtenir une purée onctueuse et aérienne.
Préchauffez votre four à 180°C (thermostat 6). Dans un plat à gratin, étalez la préparation de viande en couche uniforme. Recouvrez délicatement de purée de pommes de terre, en lissant la surface avec le dos d'une cuillère.
Créez des motifs sur la purée avec une fourchette. Saupoudrez généreusement de gruyère râpé et enfournez pour 20-25 minutes, jusqu'à obtenir un gratin doré et légèrement croustillant.